Геометрична прогресия. Пример за решение

Помислете за един ред.

7 28 112 448 1792 ...

Съвсем ясно показва, че стойността на някой от нейните елементи повече от предишните точно четири пъти. Така че, тази серия е прогресия.

геометрична прогресия нарича безкрайна последователност от числа, основната характеристика на които е, че следния номер се получава от по-горе, като се умножи по някакъв определен брой. Това се изразява чрез следната формула.

_{а Z 1 = а Z · Q} , където Z - брой на избрания елемент.

Съответно, Z ∈ N.

Време, когато училището се изучава геометрична прогресия - 9-ти клас. Примери ще ви помогне разберете идеята:

0.25 0.125 0.0625 ...

18, 06 февруари ...

Въз основа на тази формула, прогресията на знаменател може да се намери, както следва:

Нито Q, или б _Z не може да бъде нула. Също така, всеки един от елементите на поредица от числа прогресия не трябва да бъде нула.

Съответно, за да видите следващия броя на редица умножаване на последната от р.

За да определите тази прогресия, трябва да укажете на първия елемент от него и знаменателя. След това е възможно да се намери някой от следните членове и тяхната сума.

вид

В зависимост от Q и _1, тази прогресия е разделена на няколко вида:

• Ако _1, и р е по-голям от един, тогава последователност - увеличава с всяка следваща елемент на геометрична прогресия. Примери за това са описани подробно по-долу.

Пример: ₁ = 3, р = 2 - по-голямо от единица, и двата параметъра.

След поредица от числа, може да се запише като:

3 6 12 24 48 ...

• Ако | р | по-малко от един, т.е., той е еквивалентен на размножаване чрез разделяне, прогресията с подобни условия - намаляване геометрична прогресия. Примери за това са описани подробно по-долу.

Пример: ₁ = 6, р = 1/3 - ₁ е по-голям от един, Q - по-малко.

След поредица от числа, може да се запише по следния начин:

6 2 2/3 ... - всеки елемент повече елементи, следните, е 3 пъти.

• Променлив. Ако р <0, признаците на числата от редуващи се последователности постоянно независимо от _1, и елементите на увеличение или намаление.

Пример: ₁ = -3, Q = -2 - и двете са по-малко от нула.

След поредица от числа, може да се запише като:

3, 6, -12, 24, ...

формула

За удобство при употреба, има много геометрична прогресия с формулите:

• Формула Z-ти план. Тя дава възможност за изчисляване на елемента в определен брой без изчисляване на предишните числа.

Пример: р = 3, с = ₁ 4. необходимо да се изчисли четвърти прогресия елемент.

Решение: а = ₄ 4 3 · ^4-1 · ³ = 4 3 = 4 · 27 = 108.

• Сумата от първите елементи, чиито брой е равен на Z. Това позволява изчисляване на сумата на всички елементи в последователност на _Z включително.

≠ 0, по този начин, р не е 1 - (Q 1) От (1-р) е в знаменателя, след това.

Забележка: ако р = 1, а след това на развитието би представени редица безкрайно повтаряне на номера.

Сума експоненциално примери: ₁ = 2, р = -2. Изчислява S _5.

Решение: S ₅ = 22 - Изчисляване формула.

• Сума, ако | р | <1 и когато Z се стреми към безкрайността.

Пример: ₁ = _2, Q = 0,5. Намерете сбора.

Решение: S _Z = 2 х = 4

Ако изчислим сумата на няколко членове на ръководството, ще видите, че тя е наистина ангажиран с четири.

S _Z = + 1 + 2 0,5 + 0,25 + 0125 + 0,0625 = 3,9375 4

Някои свойства:

• Характерно свойство. Ако е изпълнено следното условие Това се отнася и за всеки Z, тогава даден числен серия - геометрична прогресия:

а _Z ² А = _{Z -1} · A _{Z + 1}

• Също така е квадрата на произволен брой е експоненциално чрез прибавяне на квадратите на другите две числа в даден ред, ако те са на еднакво разстояние от елемента.

² а _Z = а _{Z - т} ² ₊ а _Z + _т ^2, където т - разстоянието между тези числа.

• Елементите се различават от р пъти.
• Логаритмите на елементите на прогресия, както и образуват прогресия, но аритметиката, това е, всеки един от тях повече от предишната с определен номер.

Примери на някои класически проблеми

За да разберем по-добре какво геометрична прогресия, с примери на решението за 9 клас може да помогне.

• Условия: ₁ = 3, ₃ = 48. Find р а.

Решение: всеки следващ елемент в повече от предходната р време. Необходимо е да се експресират някои елементи чрез друга чрез знаменател.

Следователно, ₃ = Q ² · ₁

При заместване на Q = 4

• Условия: ₂ = 6, а = ₃ 12. Изчисли S _6.

Решение: За да направите това, е достатъчно да се намери р, първият елемент и заместител във формулата.

₃ = р · _2, съответно, р = 2

₂ = р · A _1, така че а = ₁ 3

S = ₆ 189

• · A ₁ = 10, р = -2. Намерете Четвъртият елемент от прогресия.

Решение: това е достатъчно, за да изразят четвъртия елемент през първото и през знаменател.

₄ ³ = р · а = ₁ -80

Пример за приложение:

• Банка на клиента е допринесла сумата от 10,000 рубли, при които всяка година на клиента до основния размер ще бъде добавен 6% от него все пак. Колко пари е в сметката, след 4 години?

Решение: Първоначалната сума, равна на 10 хиляди рубли. Така че, една година след инвестициите в сметката ще бъде в размер, равен на 10 000 + 10 000 = 10 000 · 0.06 · 1.06

Съответно, сумата по сметката дори след една година ще се изрази по следния начин:

(10000 · 1.06) · 10000 · 0,06 + 1,06 = 1,06 · 1.06 · 10000

Това означава, че всяка година сумата се увеличи до 1.06 пъти. Следователно, за да намерите номера на банковата сметка след 4 години, достатъчно е да се намери четвърти прогресия елемент, който е даден първият елемент в размер на 10 хиляди души, а знаменателят, равна на 1,06.

S = 1.06 · 1.06 · 1.06 · 1.06 · 10 000 = 12625

Примери на проблеми при изчисляването на сумата от:

В различни проблеми използване геометрична прогресия. Един пример за намиране на сумата може да се определя, както следва:

₁ = 4, р = 2, изчисляване S _5.

Решение: Известни са всички необходими данни за изчисляване, просто ги замени във формулата.

S ₅ = 124

• ₂ = 6, а = ₃ 18. изчислява сумата на първите шест елементи.

решение:

В GEOM. за напредъка на всеки елемент от следващия по-голям в сравнение с предишните времена р, това е, за да се изчисли сумата, която трябва да знаете елемент ₁ и знаменател р.

₂ · Q = ₃

Q = 3

По подобен начин, необходимостта от намиране на _{1, 2} и знае р.

₁ · Q = ₂

₁ = 2

И след това е достатъчно да се замени на известните данни в размера на формула.

S ₆ = 728.