Диференциално смятане на функции на една и няколко променливи

Диференциално смятане е клон на математически анализ, който изследва производно, различия и използването им в изследването на функции.

Историята на

Диференциално смятане очертава като независима дисциплина през втората половина на 17-ти век, благодарение на работата на Нютон и Лайбниц, който формулира основните положения при изчисляването на диференциали и забелязах връзката между интеграция и диференциация. Тъй като дисциплина той развива заедно с изчисляване на интеграли, чрез което се получават на базата на математически анализ. Появата на тези камъни откри нов модерен период в математическия свят и предизвика появата на нови дисциплини в областта на науката. Също така разширява възможността за прилагане на математиката в естествените и инженерните науки.

основни понятия

Диференциално смятане се базира на основните понятия на математиката. Те са: реално число, приемственост и граница на функция. След известно време, те са взели модерен облик, благодарение на интегрална и диференциално смятане.

Процесът на създаване

Получаване на диференциалното смятане под формата на приложение, и след това научния метод настъпила преди появата на философска теория, който е създаден от Николай Kuzansky. Неговата работа се счита за еволюционно развитие от древната наука за преценка. Въпреки факта, че самият философ не е математик, приноса му за развитието на математическата наука може да се отрече. Cusa, един от първите премахване на разглеждането на аритметиката като най-точна наука, математика пускането времето под въпрос.

В древни математици универсален критерий е единица, а философът предложи като нова мярка за безкрайност се върне точния брой. Във връзка с това обърнато изображение на точност в математическата наука. Научни знания, по негово мнение, е разделен на рационален и интелигентен. Вторият е по-точен, според учения, тъй като първите дава само приблизителни резултати.

идея

Основната идея и концепцията за диференциално смятане, свързана с функцията в малък квартал на определени точки. За това е необходимо да се създаде математически апарат да функционира проучвания, чието поведение в малък квартал на точки, инсталирани в близост до поведението на линейна функция или полином. Въз основа на това определение на производно и диференциал.

Появата на концепцията на производното е причинена от голям брой проблеми на естествените науки и математиката, които са довели до определяне на граничните стойности от същия тип.

Една от основните задачи, които са дадени като пример, като се започне с най-старите класове в училище, е да се определи скоростта на движение на точка по права линия и изграждането на тангентата към тази крива. Диференциалът свързан с това, тъй като е възможно да се сближат функция в малък квартал на мястото на линейна функция.

В сравнение с концепцията за производна на функция на една реална променлива, определението на диференциали просто преминава върху функцията на общ характер, по-специално образа на евклидово пространство в друго.

дериват

Нека се движи точка в посока на оста у, за времето, ние се х, което се измерва от началото на един миг. Описва такова движение е възможно от функция у = F (х), която е свързана към всяка точка от времето х координира заместваща точка. Тази функция повикване в областта на механиката, за да вземе закон за движение. Основната характеристика на движението, особено неравномерно, е моментната скорост. Когато точката се премества по оста у, съгласно закона на механиката, на случаен времева точка придобива координата х е (х). В момента точка х + ьН, където АН представлява увеличение от време, той ще kordinaty е (х + АН). Така оформен формула Δy = е (х + ьН) - е (х), която се нарича функция увеличение. Това е точка на пътя пресича през времето от х до х + АН.

Във връзка с наличието на скоростта по време производно е администрирано. Производното на всяка функция на фиксирана точка нарича граница (ако приемем, че съществува). Тя може да бъде отнесен към определени символи:

F '(х), Y', Y, DF / DX, ди / DX, DF (х).

Процесът на изчисляване на производната на повикване диференциация.

Диференциално смятане на функции на много променливи

Този метод се прилага при изчисляване функция проучване, няколко променливи. Когато има две променливи х и у, частичното производно по отношение на X в точка А, се нарича производно на тази функция в х с фиксирана база.

Може да бъде показано със следните символи:

F '(х) (х, у), U' (х), ∂u / ∂x и ∂f (х, у) "/ ∂x.

Необходими умения

За да може успешно да научат и да бъде в състояние да реши diffury необходимите умения за интеграция и диференциация. За да бъде по-лесно да се разбере диференциални уравнения, трябва да се разбира тема производно и неопределен интеграл. Също така не боли да се научат да търсят производната на косвения функция. Това се дължи на факта, че в процеса на обучение, често ще използва интеграли и диференциация.

Видове диференциални уравнения

Почти всички работят контрол, свързан с най-първи ред диференциални уравнения, има 3 вида уравнения: хомогенни, с разделящи се променливи, линейни нехомогенни.

Има и по-редки видове уравнения с общо диференциали, Уравнение на Бернули и други.

Основи на решения

За да започнете, трябва да помним, е алгебрично уравнение на курс училище. Те съдържат променливи и номерата. За да се реши конвенционалния уравнението трябва да намерите изобилие от числа, които отговарят на определено състояние. Обикновено тези уравнения имат един корен, а за валидиране трябва да заместват само тази стойност на мястото неизвестен.

Уравнението на диференциално е подобен на този. Като цяло, уравнение на първия ред се състои от:

• Независима променлива.
• Производно на първата функция.
• Функция или зависима променлива.

В някои случаи, може да има един неизвестен, х или у, но тя не е толкова важно, тъй като е необходимо да има на първо производно, с не по-висока производни, за да се разтвора и диференциално смятане вярно.

Решете диференциално уравнение - това означава да се намери множеството от всички функции, които са подходящи даден израз. Тези комплекти от функции често се нарича общия контрол решение.

интегрално смятане

Интегрално смятане е една от секциите на математическия анализ, който разглежда идеята за интегрална, свойства и методи за неговото изчисляване.

Често изчисляването на интеграла се случва, когато се изчислява площта на криволинейна форма. По този начин ограничение област, към която предварително определена област на формата на многоъгълник изписани с постепенно увеличаване на ръка, така и на данни може да се направи по-малко от всеки предварително определен произволно малка стойност.

Основната идея при изчисляването на площта на всяко геометричната форма се изчислява площта на правоъгълник, а след това има доказателства, че площта му е равна на произведението от дължината на ширина. Когато става дума за геометрията, а след това всички конструкции са направени с помощта на владетел и компас, а след това на съотношението между дължината и ширината е рационален стойност. При изчисляване на площта на правоъгълен триъгълник може да се определи, че ако сложите следващата триъгълник, се образува правоъгълник. В областта на успоредник се изчислява по еднакъв, но малко по-сложно метод, в рамките на правоъгълник и триъгълник. В района на полигон се счита от триъгълници, включени в него.

При определяне на милостта на произволно, този метод не е подходящ кривата. Ако ние се разделяме на отделни площади, той ще остане незапълнени места. В този случай, се опитват да използват два слоя с правоъгълника над и под, в резултат на тези включва графиката на функцията и не включва. Важно тук е начин да се прекъсне тези правоъгълници. Също така, ако вземем почивката все повече и повече намалява площта на горната и долната част трябва да се сближат с определена стойност.

Той трябва да се върне към метод за отделяне в правоъгълна форма. Има два популярни методи.

Риман се официализира определение на интеграл, създаден от Лайбниц и Нютон, като площта на подграф. В този случай, ние счита фигура, състояща се от определен брой вертикални правоъгълници, получени чрез разделяне на интервала. Когато се счупи намаление има лимит, към който намалява площта на такава фигура, тази граница се нарича Риман интеграл на функция в определен интервал от време.

Вторият метод е да се конструира Lebesgue неразделна, състоящ се в това, че на мястото на разделяне определена зона на част от подинтегрален и съставяне тогава неразделна сумата на стойностите, получени в тези части на интервали разделени своя обхват от стойности, и след това се сумират със съответните мерки обратни снимки на тези интеграли.

модерните апарати

Една от основните ползи за изучаване на диференциалното и интегралното смятане Fikhtengol'ts пише - "на диференциално и интегрално смятане." Неговият учебник е основен инструмент за изучаване на математически анализ, който издържа на много издания и преводи на други езици. Създаден за студенти и за дълго време се използва в най-различни образователни институции, като един от основните ползи от изследването. Тя дава теоретична информация и практически умения. Публикувана за първи път през 1948 г..

функция изследвания Алгоритъм

Да се изследват методите на диференциално смятане функция, трябва да следвате вече е даден алгоритъм:

1. Намерете областта на функцията.
2. Намерете корените на даденото уравнение.
3. Изчислете крайностите. За да направите това, ние изчисляваме производна и на мястото, където тя е равна на нула.
4. Ние замени стойността, получена в ур.

Сортовете на диференциални уравнения

Контрол на първия ред (в противен случай, диференциално смятане на една променлива) и техните видове:

• С отделими променливи уравнение: F (у) ди = грам (х) DX.
• Най-простият уравнение или диференциално смятане функция на една променлива, имащ формулата: Y '= F (х).
• Линейната първи ред неравномерно контрола: Y '+ Р (х) Y = Q (х).
• Бернули диференциално уравнение: у '+ Р (х) Y = Q (х) у а.
• Уравнение общо диференциали с: Р (х, у) DX + Q (х, у) ди = 0.

На диференциални уравнения от втори ред и техните типа:

• Хомогенна линеен втори ред диференциално уравнение с постоянни ^{коефициенти: у п + пг '+ QY} = 0 Р, Q принадлежи R.
• Нехомогенни линеен втори ред диференциално уравнение с постоянни коефициенти ^{стойност: у п + пг '+ QY} = F (х).
• Хомогенна линеен диференциално ^{уравнение: у п + р (х)} Y '+ р (х) Y = 0, и нехомогенни втори ред ^{уравнение: у п + р (х)} Y' + р (х) Y = F (х).

Диференциални уравнения на по-висок ред и техните типа:

• В диференциално уравнение, което позволява намаляване на ^{ред: F (х, у (к} ), у (к + ^{1), .., у (п)} = 0.
• Линейно уравнение от по-висок порядък ^{_{хомогенна: у (п) + F (}} n- ₁₎ у ^(п-1) + ... + е ₁ у '+ е ₀ у = 0, и ^{_{нехомогенни: у (п) + е (}} п _-1) у ^(п-1) + ... + е ₁ у '+ е ₀ у = е (х).

Етапи на решаването на проблема с диференциално уравнение

С помощта на дистанционното управление се решават не само математика или физически проблеми, но също така и различните проблеми на биология, икономика, социология и др. Въпреки голямото разнообразие от теми, трябва да следва една единствена логика последователност за решаване на тези проблеми:

1. Изготвяне контрол. Един от най-трудните етапи, което изисква максимална точност, защото всяка грешка ще доведе до напълно погрешни резултати. Необходимо е да се вземат под внимание всички фактори, влияещи върху процеса и да се определи начални условия. Също така трябва да се основава на факти и логически заключения.
2. За решаване на уравнения. Този процес е по-лесно до първата точка, тъй като тя се нуждае само от стриктно прилагане на математически изчисления.
3. Анализ и оценка на резултатите. Извлечен решение следва да се оцени за инсталирането на практическа и теоретична стойност на резултата.

Пример за използване на диференциални уравнения в медицината

Използване на дистанционното управление в областта на медицината е намерена в изграждането на епидемиологични математически модел. Ние не трябва да забравяме, че тези уравнения също са открити в биология и химия, които са в близост до лекарството, тъй като той играе важна роля в изучаването на различни биологични популации и химични процеси в човешкото тяло.

В този пример на епидемичното разпространение на инфекцията може да се третира в изолирана общност. Жителите са разделени на три типа:

• Заразен, броят на х (т), който се състои от индивиди, инфекциозни носители, всеки от които е инфекциозен (инкубационен период е кратък).
• Вторият тип включва чувствителни индивиди у (т), могат да бъдат заразени от контакт със заразени.
• Третият тип включва огнеупорни индивиди Z (Т), които са имунната или загуби поради заболяване.

Брой лица, постоянно, запазвайки раждане, естествени смъртни случаи и миграцията не се приема. В основата ще бъде две хипотези.

Процент заболяване в даден момент точка е равна на х (Т) у (т) (на базата поемане на теорията, че броят на случаите пропорционално на броя на пресичане между пациентите и реагиращи членове, които в първо приближение е пропорционална на х (Т) у (т)), в следователно броят на случаите се увеличава, а броят на възприемчиви намалява със скорост, която се изчислява по формула ос (Т) у (т) (а> 0).

Брой неповлияли животни, които са умрели или придобит имунитет, увеличени със скорост, която е пропорционална на броя на случаите, BX (т) (Ь> 0).

В резултат на това може да се създаде система от уравнения с всички три показателя въз основа на заключенията си.

Пример за използване на икономиката

Диференциално смятане често се използва в икономически анализ. Основната задача на икономическия анализ се счита за изследване на стойностите на икономиката, които са записани под формата на функцията. Той се използва при решаване на проблеми, като например промени в данъчните приходи се увеличава веднага след това, входни такси, промени в приходите при промяна на стойността на продукта, в каква част може да се заменят с пенсионирани служители с ново оборудване. За решаване на такива проблеми, е необходимо да се изгради комуникационна функция на входящите променливи, които, след като са били изследвани чрез диференциално смятане.

често е необходимо да се намери най-оптимална работа в сферата на икономиката: максимална производителност, най-високи доходи, най-ниска цена и така нататък. Всеки такъв компонент е функция на една или повече аргументи. Например, производството може да се разглежда като функция на труда и капитала. В тази връзка, намирането на подходящ стойност може да бъде намален до намирането на максимална или минимална на функция на една или повече променливи.

Такива проблеми създават клас екстремални проблеми в икономическата сфера, за която имате нужда диференциално смятане. Когато се изисква икономически индикатор за свеждане до минимум или увеличите, като функция на други параметри, максималната точка функцията съотношение нарастване на аргументите, ще са склонни към нула, ако нарастването на аргумента клони към нула. В противен случай, когато такова отношение тенденция към определена положителна или отрицателна стойност, посочено точка не е подходящ, тъй като чрез увеличаване или намаляване на аргумента, може да се променя зависи стойност в желаната посока. В диференциално смятане терминология, това би означавало, че необходимите условия за максимална функция е нулева стойност на негово производно.

Икономиката не е необичайно проблем за намиране на екстремум на функция на няколко променливи, тъй като икономическите показатели са съставени от много фактори. Такива въпроси са добре изяснени в теорията на функциите на няколко променливи, методът за изчисляване на разлика. Тези проблеми включват не само увеличени и сведени до минимум функция, но също така и ограничения. Тези въпроси са свързани с математически програмиране, и те се решават с помощта на специално разработени методи също се основават на този клон на науката.

Сред методите за диференциално смятане използвани в икономиката, важна точка е на крайния тест. В сферата на икономиката, терминът се отнася до набор от методи за изследване на променлива производителност и резултати, когато промените на обема на създаването, потреблението, въз основа на анализ на техните гранични стойности. Ограничаване индикация счита производно или частични производни с няколко променливи.

Диференциално смятане на няколко променливи - важна тема на математически анализ. За подробно изследване, можете да използвате различни учебни помагала за висши учебни заведения. Един от най-известните създадени Fikhtengol'ts - "на диференциално и интегрално смятане." Колко от името на решаването на диференциални уравнения на значителна важност да имат умения да работят с интеграли. Когато е налице диференциално смятане на функции на една променлива, решението става по-лесно. Въпреки това следва да се отбележи, от това следва едни и същи основни правила. На практика, за да разследва функцията на диференциалното смятане, просто следвайте вече съществуващата алгоритъм, който е даден в гимназията, и само малко по-сложно с въвеждането на нови променливи.