Линейни и хомогенен диференциално уравнение от първи ред. примери за решения

Мисля, че трябва да започнем с историята на славния математически инструмент, като диференциални уравнения. Подобно на всички по диференциално и интегрално смятане, тези уравнения са били изобретени от Нютон в края на 17-ти век. Той вярвал, че е негово откритие толкова важно, че дори и криптирана посланието, което днес може да се преведе по следния начин: ". Всички законите на природата, описан от диференциални уравнения" Тя може да изглежда преувеличено, но това е вярно. Всяко право на физика, химия, биология, може да се опише чрез следните уравнения.

Един огромен принос за развитието и създаването на теорията на диференциални уравнения имат математика на Ойлер и Лагранж. Още в 18-ти век те открили и развива това, което сега учи в университета курсове старши.

Нов момент в изучаването на диференциални уравнения започна благодарение на Анри Puankare. Той създава "качествен теория на диференциални уравнения", които, съчетани с теорията на функциите на комплексни променливи са допринесли значително за създаването на топология - науката за космоса и неговите свойства.

Какви са диференциални уравнения?

Много хора се страхуват от фразата "диференциално уравнение". Въпреки това, в тази статия ще опише подробно същността на тази много полезна математическа инструмент, който всъщност не е толкова сложно, колкото изглежда от заглавието. За да се започне да се говори за първи ред диференциално уравнение, трябва първо да се запознаят с основните понятия, които по природа са свързани с това определение. И ние ще започнем с разлика.

диференциал

Много хора знаят, този термин още от гимназията. Въпреки това, все още се спирам на това по-подробно. Представете графиката на функцията. Ние можем да го увеличи до такава степен, че някой от своя сегмент става по права линия. Това ще отнеме две точки, които са безкрайно близо един до друг. Разликата между техните координати (х, или у) е безкрайно. И това се нарича диференциално и знаци определят ди (диференциал на ш) и DX (за разлика от х). Важно е да се разбере, че разлика не е крайната стойност и това е смисъла и основната функция.

И сега трябва да обърнете внимание на следните елементи, които ние ще трябва да обясни концепцията за диференциално уравнение. Това - производно.

дериват

Всеки от нас трябва да сте чували в училище и това понятие. Казват, че производното - темп на растеж или намаляване на функцията. Това определение обаче става все по-объркващо. Нека се опитаме да обясним деривативни условията на диференциалите. Да се върнем към интервал функцията безкрайно с две точки, които се намират на минимално разстояние един от друг. Но дори и отвъд тази функция разстояние е време да се промени до известна стойност. И за да се опише тази промяна и излезе с производно, което в противен случай би се изписва като съотношението на различия: е (х) '= DF / DX.

Сега е необходимо да се разгледат основните свойства на деривата. Има само три:

1. Производно сума или разликата може да бъде представена като сумата или разликата на производни: (А + В) '= а' + Ь ', и (аб)' = а'-Ь.
2. Вторият имот е свързан с умножение. Производни произведения - е сумата от произведенията на една функция към друга производно: (а * б) '= а "* б + A * б".
3. Производното на разликата може да се запише като следното уравнение: (а / Ь) '= (а' * б * Ь ') / б ^2.

Всички тези функции да се окажат полезни за намиране на решения на диференциални уравнения от първи ред.

Също така, има частични производни. Да предположим, че има функция на Z, което зависи от променливите х и у. За изчисляване на частично производно на тази функция, например, в х, ние трябва да се вземат на променливата у за постоянен и лесно да бъдат разграничени.

интеграл

Друга важна концепция - неразделна. В действителност е обратното на производно. Integrals няколко вида, но най-простите решения на диференциални уравнения, от които се нуждаем най-тривиални неопределени интеграли.

Така че, това, което е неразделна? Да кажем, че имаме някои отношения е на х. Ние се от него интеграл и получаване на функцията F (х) (това често се нарича като примитив), който е производен на оригиналната функция. Следователно F (х) '= F (х). Това означава също така, че на интеграл от производна е равна на основната й функция.

В решаването на диференциални уравнения, че е много важно да се разбере смисъла и функцията на интеграла, тъй като много често се налага да ги вземат за намиране на решения.

Формулите са различни в зависимост от техния характер. В следващата част ще разгледаме видовете първите, за диференциални уравнения, а след това се научите как да ги решим.

Класове на диференциални уравнения

"Diffury" разделен по реда на производни, включени в тях. По този начин има първа, втора, трета или повече ред. Те също могат да бъдат разделени в няколко класа: обикновени и частични.

В тази статия, ние ще разгледаме обикновени диференциални уравнения от първи ред. Примери и решения ние обсъждат в следващите раздели. Ние считаме, че само на ОДУ, защото това е най-често срещаните видове уравнения. Обикновена разделена на подвида: с делими променливи, хомогенни и хетерогенни. След това ще се научите как те се различават един от друг, и да научат как да ги решим.

В допълнение, тези уравнения могат да бъдат комбинирани, така че след като получаваме система от диференциални уравнения от първи ред. Такива системи, ние също гледат и да се учат как да се реши.

Защо разглеждаме само първия ред? Поради това е необходимо да се започне с един прост и да опише всички свързани с диференциални уравнения, в една статия е невъзможно.

Уравнения с разделящи се променливи

Това е може би най-простите първите, за диференциални уравнения. Това са примери, които могат да бъдат записани като: Y '= F (х) * е (Y). За решаване на това уравнение трябва представителството формула на производно като съотношението на различия: Y '= Dy / DX. С него се получи уравнението: Dy / DX = F (х) * е (Y). Сега можем да се обърнем към начина на решаване на стандартни примери: разделяне на променливите в части, т.е. бързо напред през цялото променлива ш в частта, където има ди, а също така направи променлива х ... Получават уравнение на формата: Dy / е (у) = F (х) DX, което се постига, като интегралите на двете части. Не забравяйте за константа, която искате да поставите след интеграция.

Решението на всеки "diffura" - е функция на х от у (в нашия случай), или ако има числова състояние, отговорът е число. Нека разгледаме конкретен пример за целия курс на решението:

Y '= 2y * грях (х)

Трансфер на променливите в различни посоки:

ди / г = 2 * грях (х) DX

Сега вземете интегралите. Всички те могат да бъдат намерени в специална таблица на интеграли. И ние получаваме:

LN (у) = -2 * COS (X) + C

Ако е необходимо, може да се изрази "Y" като функция на "X". Сега можем да кажем, че нашето диференциално уравнение е решен, ако не е определено състояние. Може да бъде определено състояние, например, у (п / 2) = напр. Тогава ние просто ще замени стойността на тези променливи в решението и да намерите стойността на константа. В нашия пример, това е едно.

Хомогенна първия ред диференциални уравнения

Сега към по-сложните части. Хомогенните първите за диференциални уравнения могат да бъдат написани в обща форма: Y '= Z (х, у). Трябва да се отбележи, че правилната функция на две променливи е еднакъв, и не може да бъде разделена на две зависимост: Z X и Z на у. Проверете дали уравнението е хомогенен или не, е съвсем проста: ние правим смяна х = к * х и у = к * ш. Сега ние нарязани всички к. Ако тези писма са отпаднали, то уравнението хомогенна и може спокойно да се пристъпи към неговото решаване. Гледайки напред, ние казваме: принципът на решаването на тези примери също е много проста.

Трябва да заместването: у = т (х) * х, където т - функция, която също зависи от х. След това може да се изрази производно: Y '= т' (х) * х + т. Заместването на всичко това в първоначалния ни уравнение и да го опрости, ние имаме примера на разделянето на променливи т е х. Решаване на това и за получаване на зависимостта на тон (х). Когато го имам, просто замени предишния ни заместване у = т (х) * х. Тогава ние се получи зависимостта на база на х.

За да стане по-ясно, ще се разбере един пример: х * у '= YX * д г / х.

При проверка на замяната на всички намалява. Така че, уравнението е много хомогенен. Сега нов заместване, което говори за: у = т (х) * х и у '= т' (х) * х + т (х). След опростяване на следното уравнение: т '(х) * х = -e т. Ние решите да вземете проба с разделени променливи и ^{получаваме: д-т = LN (C *} х). Ние просто трябва да смените тона от г / х (защото ако у = т * х, то Т = ш / ч), а ние да получите ^{отговор: д-ил / х = LN (} х * C).

Линейно диференциално уравнение от първи ред

Време е да се помисли за друга обширна тема. Ние ще търсим разнородни първи ред диференциални уравнения. Как те се различават от предишните две? Нека си го кажем. Линейни първия ред диференциални уравнения в общата форма на уравнението могат да бъдат написани по следния начин: Y '+ г (х) * Y = Z (х). Следва да се уточни, че Z (х) и г (X) могат да бъдат постоянни стойности.

Ето един пример: Y '- Y * х = х ^2.

Има два начина за решаване, а ние поръчваме Нека разгледаме двамата. Първият - метода на вариация на произволни константи.

За решаване на уравнението по този начин, е необходимо да се равнява на първата страна дясно на нула, и решаване на получената уравнение, което след прехвърлянето на части става:

Y '= Y * х;

ди / DX = Y * х;

ди / у = xdx;

LN | у | = х ^2/2 + С;

у = д ^{х2 / 2} * ^C у = _С1 * д ^{х2 / 2.}

Сега е необходимо да се замени константата С _една по функция V (х), която ще се намери.

у = V * д ^{х2 / 2.}

Начертайте подмяна производно:

^{Y '= V' * д х2} / ² -X * V * д ^{х2 / 2.}

И заместване тези изрази в оригиналната формула:

V '* д ^{х2 / 2} - х * V * д ^{х2 / 2} + х * V * д ^{х2 / 2} = х ^2.

Можете да видите, че в лявата страна на двата термина са намалени. Ако някои например, че не се случи, тогава сте направили нещо нередно. Ние продължаваме да:

V '* д ^{х2 / 2} = х ^2.

Сега ние решим обичайната уравнение, в която искате да се разделят на променливи:

DV / DX = х ^{2 /} е ^х2 / ^2;

DV = х ² х д ^{- х2 / 2} DX.

За да премахнете интеграл, ние трябва да се прилага по отношение на интеграцията на части тук. Все пак, това не е темата на тази статия. Ако проявявате интерес, можете да научите сами по себе си за извършване на такива действия. Не е трудно, и с достатъчно умения и грижа, не отнема много време.

Позовавайки се на втория метод на разтвора на нехомогенни уравнения: Бернули метод. Какво подход е по-бързо и по-лесно - това е до вас.

Така че, когато решаването на този метод, трябва да се направи замяна: у = к * п. Тук к и п - някои функции в зависимост от х. След това производното ще изглежда като: Y '= к' * п + к * п. Заместващи две замествания в уравнението:

к '* п + к * п ' + х * к * п = х ^2.

Група нагоре:

к '* п + к * ( п' + х * п) = х ^2.

Сега е необходимо да се равняват на нула, което е в скоби. Сега, ако се съчетаят двете получените уравнения, получаваме система от първи ред диференциални уравнения, за да бъде решен:

п '+ х * п = 0;

к '* п = х ^2.

Първото равенство реши как обичайната уравнението. За да направите това, трябва да се разделят на променливи:

DN / DX = х * V;

DN / п = xdx.

Ние приемаме интеграл и получаваме: LN (н) = х ^2/2. След това, ако ние изразяваме н:

п = д ^{х2 / 2.}

Сега замени полученото уравнение във втората уравнение:

к '* д ^{х2 / 2} = х ^2.

И трансформира, ние получаваме една и съща формула, както в първия метод:

DK = х ^{2 /} е ^х2 / ^2.

Също така няма да се обсъдят по-нататъшни действия. Говори се, че в първите първи ред диференциални уравнения решение води до значителни трудности. Въпреки това, по-дълбоко потапяне в темата започва да става по-добре и по-добре.

Къде са диференциални уравнения?

Много активни диференциални уравнения, използвани в областта на физиката, както почти всички основни закони са написани на диференциалната форма, както и тези формули, които виждаме - решение на тези уравнения. В химията, те се използват за една и съща причина: основните закони са получени чрез тях. В биология, диференциални уравнения са използвани за моделиране на поведението на системи, като хищник - плячка. Те могат да бъдат използвани за създаване на модели на възпроизвеждане, например, колонии от микроорганизми.

Както диференциални уравнения помагат в живота?

Отговорът на този въпрос е прост: нищо. Ако не сте учен или инженер, че е малко вероятно, че ще бъде от полза. Въпреки това, не е лошо да знаеш какво диференциалното уравнение и е решен за цялостното развитие. И тогава възниква въпросът за син или дъщеря, "какво диференциално уравнение?" не ви постави в задънена улица. Е, ако сте учен или инженер, тогава знаете значението на тази тема във всяка наука. Но най-важното е, че сега на въпроса "как да се реши диференциалното уравнение на първия ред?" вие винаги ще бъдете в състояние да даде отговор. Съгласете се, че винаги е хубаво, когато разбереш, че това, което хората са дори се страхуват да разберете.

Основните проблеми в проучването

Основният проблем в разбирането на тази тема е лош навик на интеграция и диференциация функции. Ако не сте удовлетворени ПОЕМА производни и интеграли, вероятно ще е на стойност повече да се учи, да се научат различни методи за интеграция и диференциация, и едва след това да пристъпи към изучаването на материала, който е описан в статията.

Някои хора са изненадани да научат, че DX може да се прехвърля, тъй като по-рано (в училище) твърдят, че част ди / DX е неделима. След това е необходимо да се чете литература на производната и да разберат, че това е отношението на безкрайно малки количества, които могат да бъдат манипулирани при решаване на уравнения.

Много хора не осъзнават, че веднага решаването на диференциални уравнения от първи ред - това често е функция или neberuschiysya неразделна и това заблуда им дава много проблеми.

Какво друго може да се учи, за да разберем по-добре?

Най-добре е да се започне по-нататъшно потапяне в света на диференциално смятане на специализирани учебници, например, в математически анализ за студенти от не-математически специалности. След това можете да се премине към по-специализирана литература.

Тя се казва, че в допълнение към разлика, все още има интегрална уравнения, така че винаги ще има нещо, което да се стремим към това, което и да учат.

заключение

Надяваме се, че след като прочетете тази статия, вие ще имате представа за това какви са диференциални уравнения и как да ги решим правилно.

Във всеки случай, математика по никакъв начин полезен за нас в живота. Тя развива логиката и вниманието, без които всеки човек, тъй като без ръце.