Една система от линейни алгебрични уравнения. Хомогенна система от линейни алгебрични уравнения

В училище, всеки от нас учи уравнението и, разбира се, системата на уравнения. Но много хора не знаят, че има няколко начина за решаването им. Днес ние ще видим точно всички методи за решаване на системи линейни алгебрични уравнения, които са съставени от повече от две уравнения.

история

Днес ние знаем, че изкуството за решаване на уравнения и техните системи са възникнали в древен Вавилон и Египет. Въпреки това, равенство в познатия им вид се появи, за да ни след появата на знака за равенство "=", който беше въведен през 1556 от английския математик рекорд. Между другото, този символ е избрана за причина: това означава две паралелни равни отсечки. Всъщност, най-добрият пример за равенство не излезе.

Основателят на съвременната букви и символи на неизвестен степен, френският математик Fransua Виет. Въпреки това, неговото предназначение е значително по-различно от днес. Например, един квадратен от неизвестен брой той, обозначен с буквата Q (лат "Квадрат".) И на куба - (. Лат "Cubus") на буквата С. Тези символи сега изглежда неудобно, но след това беше най-интуитивен начин да се пишат на система от линейни алгебрични уравнения.

Въпреки това, недостатък в преобладаващите методи за решение е, че математиците са разглежда само положителните корените. Може би това се дължи на факта, че отрицателни стойности нямат никакво практическо приложение. По един или друг начин, но първите, които се считат за отрицателни корени започват след италианските математика Николо Tartaglia, Джироламо Кардано и Рафаел Bombelli в 16 век. Модерна визия, основен метод за решаване на квадратно уравнение (чрез дискриминантен) е създадена едва през 17-ти век чрез произведения на Декарт и Нютон.

В средата на швейцарския математик на 18-ти век Габриел Крамър намери нов начин да се направи за решаване на системи линейни уравнения по-лесно. Този метод по-късно е наречен на негово име, и до ден днешен го използваме. Но по метода на разговор Креймър малко по-късно, но за сега ще обсъдим линейни уравнения и техните решения отделно от системата.

линейни уравнения

Линейни уравнения - простият уравнение с променлива (S). Те принадлежат към алгебрични. Линейни уравнения , написани в общата форма, както следва: ₁ * х ₁ + _{2 *} х ₂ + ... и _п * х _п = б. Подаване на тази форма ще ни е необходимо при изготвянето на системи и матрици за.

Една система от линейни алгебрични уравнения

Определението на този термин е: набор от уравнения, които имат общи неизвестни и общото решение. Обикновено, в училище всички решен система с два, дори три уравнения. Но има и системи с четири и повече компоненти. Нека да видим първо как да ги запишете, така че по-късно, че е удобно да се реши. На първо място, системата на линейни алгебрични уравнения, ще изглежда по-добре, ако всички променливи ще бъдат отчетени като съответен индекс х: 1,2,3 и така нататък. На второ място, трябва да доведе всички уравненията на каноничната форма: ₁ * х ₁ + _{2 *} х ₂ + ... и _п * х _п = б.

След всички тези стъпки, можем да започнем да ви кажа как да се намери решение на системи линейни уравнения. Много за това ще дойде по-удобно матрица.

матрица

Матрицата - таблица, която се състои от редове и колони, и нейните елементи са най пресичане. Това може да бъде определена стойност или променлива. В повечето случаи, да посочи елементи, които са разположени под индексите (например, ₁₁ или ₂₃ и). Първият индекс показва номера на реда, а вторият - в колоната. Над матрици както по-горе и всеки друг математически елементи могат да изпълняват различни операции. По този начин, можете да:

1) Извадете и добавете един и същ размер на таблицата.

2) се размножава матрицата и да е брой, или вектор.

3) транспонират: трансформиране на матрични линии в колони и колоните - в линия.

4) се размножава матрицата, ако броят на редовете е равна на една от тях различен брой колони.

За да се обсъди подробно всички тези техники, тъй като те са полезни за нас в бъдеще. Изваждане и добавяне на матрици е много проста. Тъй като ние приемаме един и същ размер матрица, всеки елемент на една маса е свързана с всеки друг елемент. По този начин ние добавяме (изваждане) два от тези елементи (това е важно, че те стояха на едно и също място в техните матрици). Когато бъде умножен по броя на матрицата или вектор просто размножават всеки елемент на матрицата от този брой (или вектор). Транспониране - един много интересен процес. Много интересно понякога да го видя в реалния живот, например, при смяна на ориентацията на таблет или телефон. Иконите на работния плот е матрица, както и с промяна на позицията, че е транспонирана и става по-широки, но намалява във височина.

Нека разгледаме по-скоро процес, като умножение на матрици. Въпреки, че той ни каза, и не е полезно, но знам, че все още ще бъде от полза. Умножение две матрици могат да бъдат само при условие, че броят на колони в една таблица е равен на броя на редовете и други. Сега да приема една матрица линейни елементи и други елементи на съответната колона. ги умножава един към друг и след това сума (т.е., например, продукт на елементи ₁₁ и ₁₂ и на _12-б и ₂₂ б ще бъде равен на: а * б _{11 12} + ₁₂ * б и _22). По този начин, един елемент за маса, и метод, подобен на това се пълни по-нататък.

Сега можем да започнем да се помисли как да се реши на системи линейни уравнения.

гаус

Тази тема започна да се проведе в училище. Ние знаем много добре на понятието "система от две линейни уравнения" и знаем как да ги решим. Но какво, ако броят на уравненията е по-голяма от два? Това ще ни помогне метод на Гаус.

Разбира се, този метод е удобен за използване, ако направите една матрица на системата. Но не можете да го трансформирате и да вземе решение за себе си.

И така, как да го реши чрез система от линейни уравнения Гаус? Между другото, въпреки че този метод и кръстен на него, но той открива в древни времена. Гаус е операция, извършвана с уравненията, в крайна сметка да доведе до съвкупността да ешелон форма. Това е, което трябва да отгоре-надолу (ако правилно се поставят) от първия до последния уравнението намалявала един неизвестен. С други думи, ние трябва да се уверите, че ние имаме, да речем, три уравнения: първият - три неизвестни, във втория - две в третата - по един. След това, от последното уравнение, ние откриваме първия неизвестното, да замени своята стойност през второто или първото уравнение, и по-нататък се намери останалите две променливи.

правило Крамър

За развитието на тази техника е от жизненоважно значение за овладяване на уменията на събиране, изваждане на матрици, както и необходимостта да бъде в състояние да намери детерминанти. Затова, ако ви е неудобно да правите това на всички или не знам как, е необходимо да се учат и да бъдат обучени.

Каква е същността на този метод, и как да се направи това, за да получите на система от линейни уравнения Креймър? Това е много проста. Трябва да изградим една матрица от числа (почти винаги) коефициентите на система от линейни алгебрични уравнения. За да направите това, просто вземете броя на непознатото, а ние организираме една маса в реда, в който са записани в системата. Ако преди номера, е знак "-", а след това пишем отрицателен коефициент. Така че, ние направихме първата матрица на коефициентите на неизвестните, с изключение на броя след знака за равенство (разбира се, уравнението трябва да се намали до канонична форма от правото е просто число, а отляво - всички неизвестни с коефициенти). След това трябва да направите няколко матрици - по един за всяка променлива. За тази цел в първата матрица се заменя с една колона всяка колона номера с коефициентите след знака за равенство. По този начин ние да вземем няколко матрици и след това намерете тях фактори.

След като установи, квалификациите, това е малък. В момента има първоначална матрица, и има няколко получени матрици, които съответстват на различни променливи. За да получите системно решение, ние разделяме детерминантата на получената маса на основният определящ фактор за масата. Полученият брой е стойността на една променлива. По същия начин, ние откриваме всички неизвестни.

други методи

Има няколко начина, за да се получи разтвор на системи линейни уравнения. Например, така наречения метод на Гаус-Jordan, който се използва за намиране на решения на системата на квадратно уравнение, а също така се отнася до използването на матрици. Налице е също така метод Якоби за решаване на система от линейни алгебрични уравнения. Той лесно се адаптира към всички компютри и се използва при изчисляване.

сложните случаи

Сложността обикновено се случва, ако броят на уравненията е по-малко от броя на променливите. Тогава със сигурност може да се каже, че или системата е в противоречие (т.е. още няма корени), или на броя на решенията си клони към безкрайност. Ако имаме втория случай - е необходимо да се напише общото решение на системата от линейни уравнения. То ще включва най-малко една променлива.

заключение

Тук стигаме до края. За да обобщим: ние трябва да разберем какво матрица система, се научих да се намери общото решение на система от линейни уравнения. В допълнение ние разгледани и други възможности. Ние измисли как да се реши на системи линейни уравнения: Gaussian елиминиране и управление на Креймър. Говорихме за трудни случаи и други начини за намиране на решения.

В действителност, този въпрос е много по-богат, а ако искате да го разберем по-добре, ние ви съветваме да прочетете повече в специализираната литература.