Корените на квадратичното уравнение: алгебрично и геометрично значение

В алгебра квадратното уравнение е второстепенно уравнение. По уравнението се разбира математически израз, който има един или повече неизвестни в състава му. Уравнение от втори ред е математическо уравнение, което има най-малко един квадрат в неизвестна степен. Квадратното уравнение е от втора поредност, уравнението се свежда до формата на идентичност, равна на нула. Решаването на квадратичното уравнение означава същото като определянето на корените на квадратичното уравнение. Типично квадратично уравнение в общата форма:

W * c ^ 2 + T * c + 0 = 0

Където W, T са коефициентите на корените на квадратичното уравнение;

О е свободният коефициент;

C е корена на квадратичното уравнение (винаги има две стойности на c1 и c2).

Както вече беше споменато, проблемът с решаването на квадратичното уравнение е намирането на корените на квадратичното уравнение. За да ги намерим, е необходимо да открием дискриминацията:

N = T ^ 2-4 * W * O

Необходим е разграничител за решаване на формулата за намиране на корен c1 и c2:

C1 = (-T + √N) / 2 * W и c2 = (-T-√N) / 2 * W

Ако в квадратично уравнение с обща форма коефициентът в корена на Т има множествена стойност, уравнението се заменя с:

W * c ^ 2 + 2 * U * c + 0 = 0

И корените му изглеждат като израз:

С1 = [-U + √ (U ^ 2-W * O)] / W и c2 = [-U - √ (U ^

Често уравнението може да има малко по-различна форма, когато c_2 може да няма коефициент W. В този случай горното уравнение има формата:

C ^ 2 + F * c + L = 0

Където F е коефициентът в корена;

L е свободният коефициент;

C е корена на квадратичното уравнение (винаги има две стойности на c1 и c2).

Този вид уравнение се нарича намалено уравнение. Името "намалено" премина от формулата за редукция на типично квадратично уравнение, ако коефициентът в корена на W е една. В този случай корените на квадратичното уравнение:

С1 = -F / 2 + √ [(F / 2) ^ 2-L)] и c2 = -F / 2 -

В случай на равна стойност на коефициента в корена на F, корените ще имат решение:

C1 = -F + √ (F ^ 2-L) c2 = -F-√ (F ^ 2-L)

Ако говорим за квадратични уравнения, тогава трябва да помним теоремата на Vieta. Той казва, че за намаленото квадратично уравнение съществуват следните закономерности:

C ^ 2 + F * c + L = 0

С1 + с2 = -F и c1 * c2 = L

В общото квадратично уравнение корените на квадратичното уравнение се свързват от зависимостите:

W * c ^ 2 + T * c + 0 = 0

C1 + c2 = -T / W и c1 * c2 = O / W

Сега нека разгледаме възможните варианти на квадратичните уравнения и техните решения. Може да има две от тях, тъй като ако няма член c_2, тогава уравнението няма да бъде квадрат. Ето защо:

1. W * c ^ 2 + T * c = 0 Вариант на квадратичното уравнение без свободен коефициент (термин).

Решението е:

W * c ^ 2 = -T * c

С1 = 0, с2 = -Т / В

2. W * c ^ 2 + O = 0 Вариантът на квадратичното уравнение без втория термин, когато корените на квадратичното уравнение са равни в абсолютна стойност.

Решението е:

W * c ^ 2 = -О

C1 = √ (-O / W), c2 = - √ (-O / W)

Всичко това беше алгебра. Помислете за геометричното значение, което квадратичното уравнение има. Уравнението от втора поред в геометрията описва параболната функция. За учениците в гимназията проблемът често е как да се открият корените на квадратичното уравнение? Тези корени на уравнението дават представа за това как графиката на функцията (парабола) се пресича с оста на координатите - абсциси. Ако решаването на квадратичното уравнение постигне ирационално решение на корените, тогава няма да има пресечна точка. Ако коренът има една физическа стойност, тогава функцията пресича оста на абсцисата на едно място. Ако два корена, съответно, - две точки на пресичане.

Трябва да се отбележи, че коренът на ирационалността означава отрицателна стойност под корена, когато се намират корени. Физическото значение е всяка положителна или отрицателна стойност. Ако се открие само един корен, се приема, че корените са същите. Ориентацията на кривата на декартовата координатна система може да бъде определена и от коефициентите на корените на W и T. Ако W има положителна стойност, тогава и двата клона на параболата имат посока нагоре. Ако W има отрицателна стойност, тогава - надолу. Също така, ако коефициентът B има положителен знак, докато W е също положителен, тогава върхът на параболната функция е в "y" от "-" безкрайност до "+" безкрайност, "c" от минус безкрайност до нула. Ако T е положителна стойност и W е отрицателна стойност, то от другата страна на абсцисата.