Maclaurin и разлагане на някои функции

Проучване висшата математика трябва да е наясно, че сумата на степенен ред в интервала на сходимост на редица от нас, е непрекъснат и неограничен брой пъти диференциран функция. възниква въпросът: Възможно е да се твърди, че дадена произволна функция е (х) - е сумата от серия мощност? Това означава, че при какви условия F на F-ции (х) може да бъде представена чрез поредица властта? Значението на този въпрос е, че е възможно да се замени приблизително £ Богословския е (х) е сумата на първите няколко реда на степенен ред, който е полином. Такава функция за подмяна е съвсем проста израз - полином - е удобен и при решаване на определени проблеми в математически анализ, а именно в решаването на интеграли при изчисляването на диференциални уравнения , и т.н. ...

Доказано е, че за някои е-II е (х), където производните на (п + 1) -ти ред могат да бъдат изчислени, включително късно в близост (α - R; х ₀ + R) на точка х = α справедлива формула е:

Тази формула е кръстен на известния учен Брук Тейлър. Редица който е получен от предишния, се нарича серия Maclaurin:

Правило, което дава възможност да се произвеждат експанзия в поредица Maclaurin:

1. Определя производни на първа, втора, трета, ... ред.
2. Изчислява което са производни на х = 0.
3. Запис Maclaurin серия за тази функция, а след това да се определи интервалът на конвергенция.
4. Определя интервал (-R; R), където остатъчната част на формула Maclaurin

R _п (х) -> 0 за п -> безкрайност. Ако има такъв, че функцията е (х) е равна на сумата от серия Maclaurin.

Помислете сега серията Maclaurin за отделните функции.

1. По този начин, първата да е (х) = е ^х. Разбира се, че техните характеристики така е-Ia е получен различни поръчки, и е ^{(к) (х)} = д ^х, където к е равно на всички естествени числа. Заместител х = 0. Получават е ^{(к) (0)} = ⁰ д = 1, k = 1,2 ... Въз основа на изложеното по-горе, редица д ^х Тя ще бъде, както следва:

2. Maclaurin серия за F функция (х) = грях х. Веднага се уточни, че F-ции за всички неизвестни производни ще има, освен F ^'(х) = защото х = грях (х + п / 2), ^{е' '(х)} = -sin х = грях (х + 2 * п / ^2), ..., F ^{(к) (х)} = грях (х + п * к / 2), където к е равно на всяко положително число. Това е, което прави прости изчисления, можем да заключим, че поредицата за е (х) = х грях ще бъде като този:

3. Сега нека да разгледаме IJU е-е (х) = х COS. Не е известно за всички производни на произволен ред, и ^{| F (к) (х)} | = | Cos (х + к * п / 2) | <= 1, к = 1,2, ... Отново, като направи някои изчисления, ние откриваме, че поредицата за е (х) = COS х ще изглежда така:

Така че, ние сме включили най-важните характеристики, които могат да бъдат разширени в поредица Maclaurin, но те се допълват серията Тейлър някои от функциите. Сега ние ще ги посочим, както добре. Трябва също да се отбележи, че Тейлър серия и Maclaurin серия са важна част от поредицата семинар на решения по висша математика. Така че, Тейлър серия.

1. Първият е серия от F-II е (х) = LN (1 + х). Както и в предишните примери, за това ние е (х) = LN (1 + х) може да се сгъне редица, като се използва общата форма на Maclaurin серия. но за тази функция Maclaurin може да се получи много по-лесно. Интегриране на геометрична прогресия, ние получи номер за е (х) = LN (1 + х) на пробата:

2. И второ, което ще бъде окончателно в тази статия, ще бъде поредица за е (х) = arctg х. За х принадлежащи на интервала [-1; 1] е валиден разлагане:

Това е всичко. В тази статия съм огледа най-използваните Тейлър серия и Maclaurin серия в висша математика, особено в икономически и технически колежи.