ОбразуванеКолежи и университети

Диференциация - какво е това? Как да намерите разлика от функцията?

Заедно с производни техните функции диференциали - то някои от основните понятия на диференциала смятане, основната секция на математически анализ. Както неразривно свързани, двете от тях на няколко века широко използвани при решаване на почти всички проблеми, които са възникнали в хода на научни и технически дейности.

Появата на концепцията за диференциално

За първи път даде да се разбере, че такъв диференциал, един от основателите (заедно с Isaakom Nyutonom) диференциално смятане известния немски математик Готфрид Vilgelm Leybnits. Преди това математиците 17-ти век. използва много неясна и бегла представа за някои безкрайно "неразделен" е известна функция, което представлява много малка постоянна величина, но не е равна на нула, по-долу кои стойности на функцията не може да бъде просто. Следователно това е само един етап на въвеждане на понятия за безкрайно нарастване на функцията на аргументи и техните съответни стъпки от функциите, които могат да бъдат изразени по отношение на производни на последната. И тази стъпка бе предприета почти едновременно горните две велики учени.

Въз основа на необходимостта от решаване на спешни практически механика проблеми пред които са изправени наука бързо развиващата се индустрия и технологиите, Нютон и Лайбниц създава разпространените начини за намиране на функциите на степента на промяна (особено по отношение на механичното скоростта на тялото на известна траекторията), което доведе до въвеждането на тези понятия, като производно функцията и разлика, и също така, алгоритъм обратни проблемни разтвори като известен сам по себе си (променлив) скорости преминават да намерят пътя, който доведе до концепцията за неразделна Ala.

В творбите на идея Лайбниц и Нютон първо се оказа, че диференциалите - е пропорционално на нарастването на основните аргументи АН инКрементира Δu функции, които могат да се прилагат успешно за изчисляване на стойността на последните. С други думи, те са открили, че функция за увеличение може да бъде във всяка точка (в нейната област на определение) се изразява чрез производно както Δu = Y '(х) ьН + αΔh където α ьН - остатък, с тенденция към нула ьН → 0, много по-бързо, отколкото действителната АН.

Според създателите на математически анализ, диференциали - това е точно първия мандат на стъпки от всички функции. Дори без да има ясно определена граница концепция последователности се разбират интуитивно че диференциална стойност на производно има тенденция да функционира при ьН → 0 - Δu / ьН → Y '(х).

За разлика от Нютон, който е бил преди всичко физик и математически апарат разглежда като помощен инструмент за изучаване на физически проблеми, Лайбниц обърне повече внимание на този инструментариум, включително система за визуални и разбираеми символи математически стойности. Именно той предложен стандартната нотация на разликите функция ди = Y '(х) DX, DX, и производното на функцията аргумент и връзката им у' (х) = Dy / DX.

Съвременната дефиниция

Каква е разлика от гледна точка на съвременната математика? Тя е тясно свързана с концепцията за променливо увеличение с. Ако у променлива се първа стойност на у у = 1, тогава Y = Y 2, разликата ш 2 ─ Y 1 се нарича увеличение стойност у. Нарастването може да бъде положителен. отрицателни и нула. Думата "увеличение" е определен Δ, Δu запис (чете "делта Y ') означава стойността на у нарастване. така Δu = Y 2 ─ Y 1.

Ако стойността Δu произволна функция у = F (X) могат да бъдат представени като Δu = A ьН + α, където А е не зависимост от АН, т. Е. А = конст за дадения х, и терминът алфа когато ьН → 0 тенденция да е още по-бързо, отколкото действителната ьН, след първата ( "майстор") срок пропорционална ьН, и е у = е (х) диференциал, означен ди или DF (х) (чете "у де", "де EFF от X"). Затова диференциали - един "главен" линейна по отношение на компонентите на нараствания АН функции.

механично обяснение

Нека = F (т) - разстоянието по права линия се движат материал точка от първоначалното положение (т - времето за пътуване). Увеличаване Δs - е начин, а по време на интервал от време АТ и диференциални DS = F '(т) АТ - този път, който момент ще се проведе за същото време АТ, ако тя запазва F скорост "(т), достигнати по време на тон , Когато едно безкрайно ATi, DS въображаем път се различава от действителните Δs безкрайно, които имат по-висок порядък по отношение на ATi,. Ако скоростта по времето на тон не е равно на нула, DS приблизителната стойност дава малка пристрастия точка.

геометрична интерпретация

Нека линия L е графиката на у = е (х). След Δ х = MQ, Δu = QM "(вж. Фигура долу). Tangent MN разбива Δu нарязани на две части, QN и Ню Мексико. Първи и ьН е пропорционална QN = MQ ∙ TG (ъгъл QMN) = ьН F '(х), т. Е QN е ди диференциал.

Втората част от разликата Δu NM'daet ─ Dy, когато АН дължина → 0 НМ "намалява дори по-бързо от нарастването на аргумента, т.е. тя е от порядъка на незначителност по-висока от АН. В този случай, ако F '(х) ≠ 0 (не са успоредни допирателни OX) сегменти QM'i QN еквивалентни; с други думи, НМ "бързо се понижава (заповед на незначителност на своята по-висока) от общия прираст Δu = QM". Това се вижда на фигура (приближава сегмент M'k М NM'sostavlyaet всички малък процент QM "сегмент).

Така че, графично диференциална произволна функция е равна на стъпката на ординатата на допирателната.

Производно и диференциална

Фактор в първия срок на нарастване експресия функция е равна на стойността на неговото производно е '(х). По този начин, след връзка - Dy = F '(х) ьН или DF (х) = F' (х) ьН.

Известно е, че нарастването на независимия аргумент е равна на неговата диференциал АН = DX. Съответно, може да се напише: F '(х) DX = Dy.

Намирането (понякога казва, че е "решението") диференциалите се извършва от същите правила като за деривати. Списък от тях е дадена по-долу.

Какво е по-универсален: нарастването на аргумента или неговата разлика

Тук е необходимо да се направят някои уточнения. Представителство е стойност "(х) диференциална ьН възможно, когато се разглежда х като аргумент. Но функцията може да бъде сложен, в която X може да бъде функция на аргумент т. След представянето на диференциалната експресия на F '(х) ьН, като правило, е невъзможно; освен в случая на линейна зависимост х = при + б.

Що се отнася до формула F '(х) DX = ди, след което, в случай на независим аргумент х (след DX = ьН) в случай на параметри зависимостта на х т, е диференциал.

Например, експресия 2 х ьН е у = х 2 диференциална когато х е аргумент. Сега х = 2 т и поема т аргумент. Тогава у = х 2 = 4 т.

Това е последвано от (т + АТ) 2 = т 2 + 2tΔt + ATi, 2. Следователно бн = 2tΔt + ATi, 2. Следователно: 2xΔh = 2т 2 (2tΔt + ATi, 2).

Този израз не е пропорционална на ATi, и затова сега 2xΔh не е разлика е. Тя може да се намери от уравнението у = х 2 = 4 т. Тя е равна ди = 4 т 3 АТ.

Ако вземем експресия 2xdx е диференциалното Y = х 2 за всеки аргумент т. В действителност, когато х = 2 т получи DX = 2tΔt.

Така 2xdx = дватона 2 2tΔt = 4т 3 .DELTA.t, т. Е. различия Експресионните записани от две различни променливи съвпадат.

Подмяна нараствания диференциали

Ако F '(х) ≠ 0, тогава Δu и ди еквивалент (когато ьН → 0); ако е '(х) = 0 (смисъл и Dy = 0), те не са еквивалентни.

Например, ако Y = х 2, след това Δu = (х + ьН) 2 ─ х 2 = 2xΔh + ьН 2 и Dy = 2xΔh. Ако х = 3, тогава имаме Δu = 6Δh + ьН 2 и Dy = 6Δh че са еквивалентни поради ьН 2 → 0, когато х = 0 стойност Δu = ьН 2 и Dy = 0 не са еквивалентни.

Този факт, заедно с проста структура на разлика (т. Е. Линейност по отношение на АН), често се използва в приблизително изчисление на предположението, че Δu ≈ ди за малки ьН. Намери диференциална функция обикновено е по-лесно, отколкото да се изчисли точната стойност на увеличението.

Например, ние имаме метален куб с ръб х = 10.00 см. На загряване на край удължен на бн = 0.001 см. Как увеличен обем куб V? Имаме V = х 2, така че DV = 3x 2 = ьН 3 ∙ ∙ 10 февруари 0/01 = 3 (cm 3). Повишена ΔV еквивалент диференциална DV, така че ΔV = 3 cm 3. Пълен изчисление ще даде 3 ΔV = 10,01 ─ март 10 = 3,003001. Но в резултат на всички цифри, с изключение на първия ненадеждни; Ето защо, все пак е необходимо да се закръгли до 3 cm 3.

Очевидно е, че този подход е полезен само ако това е възможно да се оцени стойността, придадена с грешка.

Диференциална функция: примери

Нека се опитаме да намерите разлика от функция Y = х 3, намирането на деривата. Нека дадем нарастване аргумент Δu и определи.

Δu = (ьН + х) 3 ─ х 3 = 3x 2 + делтан (ьН 3xΔh 2 + 3).

Тук, коефициент на = 3x 2 не зависи от АН, така че първия мандат е пропорционална АН, другият член 3xΔh АН 2 + 3 когато АН → 0 намалява по-бързо от нарастването на аргумента. Следователно, член на 3x 2 ьН е разлика на у = х 3:

Dy = 3x 2 бн = 3x 2 DX или г (х 3) = 3x 2 DX.

Където г (х 3) / DX = 3x 2.

Dy Сега намерите у функция = 1 / х от производно. Тогава г (1 / х) / DX = ─1 / х 2. Следователно ди = ─ ьН / х 2.

Диференциали основни алгебрични функции са посочени по-долу.

Приблизителни изчисления с използване диференциална

За оценка на функцията F (х), и неговото производно е '(х) при х = а често е трудно, но да направи същото в близост до х = а не е лесно. След това се притекат на помощ на приблизителната израз

е (а + ьН) ≈ F '(а) ьН + е (а).

Това дава приблизителна стойност на функцията на малки стъпки чрез диференциална ьН F '(а) ьН.

Следователно, тази формула дава приблизителна експресия за функцията в крайната точка на част от дължината ьН като сума от стойността на началната точка на частта (х = а) и разлика в същата начална точка. Точност на метода за определяне на стойностите на функцията по-долу илюстрира чертежа.

Въпреки известни и точната експресията на стойността на функцията х = а + ьН дадена от формула крайни стъпки (или, алтернативно, формула Lagrange е)

е (а + ьН) ≈ F '(ξ) ьН + е (а),

където точката х = A + ξ е в интервала от х = а за х = а + ьН, въпреки че точната позиция е известна. Точната формула позволява да се направи оценка на грешката на приблизителната формула. Ако сложим във формула ξ на Лагранж = АН / 2, въпреки че тя престава да бъде точен, но дава, като правило, много по-добър подход от първоначалния израз по отношение на разлика.

формули оценка грешка чрез прилагане диференциална

Измервателни уреди по принцип неточни, и да доведе до данните от измерванията, съответстващи на грешката. Те се характеризират с ограничаване на абсолютната грешка, или, накратко, пределната грешка - положителна, ясно надвишава грешката в абсолютна стойност (или най-много равна на него). Ограничаване на относителната грешка се нарича коефициент, получен чрез разделяне на абсолютната стойност на измерената стойност.

Нека точна формула Y = е (х) функция се използва за vychislyaeniya у, но стойността на х е резултат от измерването, и следователно носи грешка у. След това, да намерите ограничаване абсолютна грешка │Δu│funktsii у, като се използва формулата

│Δu│≈│dy│ = │ F '(х) ││Δh│,

където │Δh│yavlyaetsya аргумент пределната грешка. │Δu│ количество трябва да бъде закръглена нагоре, като Самата неточно изчисление е замяната на нарастването на диференциалното смятане.

Similar articles

 

 

 

 

Trending Now

 

 

 

 

Newest

Copyright © 2018 bg.birmiss.com. Theme powered by WordPress.